1. एक पासे को एक बार उछाला जाता है। पासे पर प्राप्त संख्या जो 3 का अपवर्त्य है, को E से और पासे पर प्राप्त संख्या जो सम है, को F' से, निरूपित किया गया है। क्या E तथा F स्वतन्त्र घटनाएँ हैं?
2. किसी लीप वर्ष (अधिवर्ष) में 53 रविवार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
3. एक प्रश्न को A तथा B द्वारा स्वतन्त्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः 1 2 और हैं। यदि दोनों स्वतन्त्र रूप से प्रश्न हल करने का प्रयास करते हैं, तो (i) उनमें 3 से कोई भी प्रश्न हल न कर पाए, (ii) कम-से-कम एक उसे हल कर ले, की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
4. किसी दौड़ में A के जीतने की प्रायिकता है तथा B के जीतने की प्रायिकता है। 3 4 इस दौड़ में, A और B में से कोई न जीत पाए, इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
5. एक विद्यालय में 500 विद्यार्थी हैं जिनमें से 230 लड़के हैं। यह ज्ञात है कि 20% लड़के कक्षा XII में पढ़ते हैं। एक यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी लड़का है और कक्षा XII में पढ़ता है, उसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
6. एक पासे को एक बार 'उँछौंला जाता है। यदि घटना 'पासे पर प्राप्त संख्या 3 का अपवर्त्य है' को E से और 'पासे पर प्राप्त संख्या सम है' को F' से निरूपित किया जाए, तो बताएँ कि क्या घटनाएँ E और F स्वतन्त्र है।
7. एक पासे को दो बार उछाला गया और प्रकट हुई संख्याओं का योगफल 6 पाया गया। संख्या 4 के न्यूनतम एक बार प्रकट होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
8. एक पासे को दो बार उछाला गया। मान लें A घटना 'पहली उछाल पर विषम संख्या प्राप्त होना' और घटना B 'द्वितीय उछाल पर विषम संख्या प्राप्त होना' दर्शाते हैं। घटनाओं A और B के स्वातन्त्र्य का परीक्षण कीजिए।
9. एक थैला में 10 काली और 5 सफेद गेंदें हैं। दो गेंद, एक के बाद एक, निकाली जाती हैं और पहली गेंद दूसरे के निकालने से पहले वापस नहीं रखी जाती है। मान लीजिए कि थैला में से प्रत्येक गेंद का निकालना समसम्भाव्य है, तो दोनों काले गेंद निकालने की क्या प्रायिकता है?
10. एक पासे को तीन बार फेंका जाता है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्राप्त अंकों में से एक अंक विषम संख्या होगी।
11. एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं तथा दूसरे थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं इनमें से एक थैले को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है जो लाल है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह लाल गेंद पहले थैले से निकाली गयी है।
12. एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि ज्ञात हो कि बच्चों में से कम से कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
13. एक पासे को दो बार उछाला गया और प्रकट हुई संख्याओं का योग 6 पाया गया। संख्या 4 के न्यूनतम एक बार प्रकट होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
14. पूर्णांकों 1 से 11 तक में से दो पूर्णांक यादृच्छया चुने जाते हैं। यदि उनका योग सम है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों पूर्णांक विषम हैं।
15. यदि दो पासे एक साथ फेंके जा रहे हैं, तो कम से कम एक 6 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
16. एक पासे को दो बार उछाला जाता है। यदि उनके सतहों पर आये अंकों का योगफल 6 है, तो आये हुए अंकों में से कम से कम एक 4 होने की सशर्त प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
17. एक पासे को तीन बार फेंका जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए जब प्राप्त अंकों में से एक अंक विषम संख्या हो।
18. 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई ताशों की गड्डी में से एक के बाद एक तीन पत्ते बिना प्रतिस्थापित किए निकाले गये। पहले दो पत्तों के बादशाह और तीसरे के इक्का होने की क्या प्रायिकता है?
19. एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतन्त्र रूप से हल करने की प्रायिकतायें क्रमशः 1 और 1 हैं। यदि दोनों, स्वतन्त्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास 2 3 करते हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) समस्या हल हो जाती है, (ii) उनमें से कोई एक ही समस्या हल कर पाता है।
20. एक बक्से में दस कार्ड 1 से 10 तक पूर्णांक लिखकर रखे गए और उन्हें अच्छी तरह मिलाया गया। इस बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया। यदि यह ज्ञात हो कि निकाले गए कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, तो इस संख्या के सम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
21.एक पाठशाला में 500 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 230 लड़कियाँ है। यह ज्ञात है कि 230 में से 10% लड़कियाँ कक्षा XII में पढ़ती हैं। एक यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी कक्षा XII में पढ़ता है तथा वह लड़की है, उसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
22. एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं तथा दूसरे थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं। इनमें से एक थैले को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से गेंद निकाली जांती है जो लाल है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह लाल गेंद पहले थैले से निकाली गई है।
23. एक परिवार में तीन बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात है कि बच्चों में से कम से कम एक बच्चा लड़की है, तो तीनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
24. किसी दौड़ में A के जीतने की प्रायिकता है 3 तथा B के जीतने की प्रायिकता 1 4 है। इस दौड़ को A और B में से कोई न जीत पाए, इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
25. एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि बच्चों में से कम-से-कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़के होने की क्या प्रायिकता है?
26. एक थैले में 4 सफेद और 2 काली गेंदें हैं तथा दूसरे थैले में 3 सफेद और 5 काली गेंदें हैं। यदि प्रत्येक थैले से एक गेंद निकाली जाए तो दोनों गेंद काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
27. एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं। दूसरे थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं। इनमें से एक थैले को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है जो लाल है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह पहले थैले से निकाली गई है।
28. एक व्यक्ति A, 70% घटनाओं में सत्य बोलता है। दूसरा व्यक्ति B, 70% घटनाओं में सत्य बोलता है। एक घटना में दोनों के एक-दूसरे से सहमत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
29. एक परिवार में दो बच्चे हैं, इनमें कम-से-कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़का होने की क्या प्रायिकता है?
30. एक बक्से में दस कार्ड 1 से 10 तक पूर्णांक लिखकर रखे गए हैं। उन्हें अच्छी तरह मिलाया गया तथा बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, तथा संख्या सम हो।
31. एक विद्यालय में 1000 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 430 लड़कियाँ हैं। यह ज्ञात है कि 430 में से 10% लड़कियाँ कक्षा 12 में पढ़ती हैं। क्या प्रायिकता है कि एक यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी कक्षा 12 में पढ़ता है यदि यह ज्ञात है कि चुना गया विद्यार्थी लड़की है?
32. एक कक्षा में 40% विद्यार्थी गणित, 20% विद्यार्थी जीव विज्ञान और 10% विद्यार्थी गणित और जीव विज्ञान दोनों पढ़ते हैं। यादृच्छया एक विद्यार्थी चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) वह गणित पढ़ता है, जबकि यह ज्ञात है कि वह जीव विज्ञान पढ़ता है।
(ii) वह जीव विज्ञान पढ़ता है, जबकि यह ज्ञात है कि वह गणित पढ़ता है।
33. एक थैले में 5 लाल, 4 काली और 3 सफेद गेंदें हैं। यदि एक के बाद एक 3 गेंद निकाली जाएँ तथा निकाली गई गेंदों को पुनः थैले में वापस नहीं रखा जाता है, तो तीनों गेंदों के लाल निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
34. 52 ताशों की एक गड्डी में से एक के बाद एक दो पत्ते निकाले जाते हैं। यदि उन्हें निकालने के बाद पुनः ताश की गड्डी में नहीं रखा जाता है, तो दोनों पत्ते पान के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
35. एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि बच्चों में से कम-से-कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़का होने की क्या प्रायिकता है?
36. यदि A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, तो दिखाइए कि A या B में से न्यूनतम एक के होने की प्रायिकता 1- P(A') P(B') होगी।
37. एक थैले में 5 लाल तथा 3 काली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया थैले से निकाली जाती है। निकाली गई गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
38. A किसी लक्ष्य को 5 प्रयास में से 4 बार, B उसे 4 प्रयास में से 3 बार तथा C उसे 3 प्रयास में से 2 बार भेद सकता है। लक्ष्य के भेदन की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
38. सिद्ध कीजिए कि एक दिए गए वृत्त के अन्तर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल अधिकतम होता है।
39. किसी दौड़ में A के जीतने की प्रायिकता 1/3 है तथा B के जीतने की प्रायिकता 1/4 है। इस दौड़ को A और B में से कोई न जीत पाए, इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
40. एक कमरे में तीन बल्ब होल्डर हैं। 10 बल्बों में से 6 बल्ब खराब हैं। एक व्यक्ति यादृच्छया 3 बल्ब चुनता है और बल्ब होल्डरों में लगा देता है। उसे प्रकाश मिल जाए, इसकी प्रायिकता क्या है?
41. एक विद्यालय में शिक्षक के दो स्थान रिक्त हैं। साक्षात्कार हेतु एक पुरुष तथा एक स्त्री आते हैं। पुरुष शिक्षक के चयन की प्रायिकता 1/10 है तथा स्त्री शिक्षक की 1/8 है, तो ज्ञात कीजिए कि
(i) दोनों चुन लिए जाएँ, तथा
(ii) दोनों ही न चुने जाएँ की प्रायिकता क्या है?
42. एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि बच्चों में से कम-से-कम एक बच्चा लड़का हो, तो दोनों बच्चों के लड़का होने की क्या प्रायिकता है?
43. एक बक्से में दस कार्ड 1 से 10 तक पूर्णांक लिख कर रखे गए हैं और उन्हें अच्छी तरह मिलाया गया है। इस बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया है। यदि यह ज्ञात हो कि निकाले गए कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, तो इस संख्या के सम होने की क्या प्रायिकता है?
44. एक व्यक्ति 4 में से 3 बार सत्य बोलता है तथा पासे उछालता है और बतलाता है कि आने वाली संख्या 6 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर आने वाली संख्या वास्तव में 6 है।
45. एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि बच्चों में से कम-से-कम एक बच्चा लड़की हो, तो दोनों बच्चों के लड़की होने की क्या प्रायिकता है?
46. एक रोगी डॉक्टर से मिलने ट्रेन, बस, स्कूटर या अन्य किसी वाहन से जाता है जिनकी प्रायिकताएँ क्रमशः 3/10 ,1/5 ,1/10 या 2/5 हैं। यदि वह ट्रेन, बस या स्कूटर से आता है, तो उसके देर से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः 1/4, 1/3 या 1/12 हैं परन्तु किसी अन्य वाहन से आने पर उसे देर नहीं होती है। यदि वह देर से आया, तो उसके ट्रेन से आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
47. दो पासे एकसाथ फेंके जा रहे हैं। कम-से-कम एक 6 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
48. यदि एक सिक्के को 10 बार उछाला जाता है, तो निम्न की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
(a) ठीक 6 चित
(b) कम-से-कम 6 चित
49. किसी लीप वर्ष में 53 रविवार के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
50. तीन छात्र किसी परीक्षा में बैठते हैं। यदि उनके उत्तीर्ण होने की प्रायिकता क्रमशः 1/3 ,1/4 ,1/5 हो, तो उनमें से कम-से-कम दो के परीक्षा में उत्तीर्ण होने ज्ञात कीजिए।
51. एक थैली में 5 लाल तथा 6 काली गेंदें हैं। दो गेंदें यादृच्छया निकाली जाती हैं। उनके अलग-अलग रंग के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
52. ताश के 52 पत्तों की एक अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से दो पत्ते उत्तरोत्तर प्रतिस्थापना के साथ निकाले जाते हैं। इक्कों की संख्या की प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
53. दो पासे एकसाथ उछाले जाते हैं। उन पर प्राप्त अंकों का योग अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
54. पासों के एक जोड़े को तीन बार उछालने पर द्विकों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
55. यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P (E) = 0.6, P (F) = 0.3 और P(EE) = 0.2, तो P(E/F) और P(F/E) ज्ञात कीजिए।
56. एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि बच्चों में से कम-से-कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़का होने की क्या प्रायिकता है?
57. एक पासे को पाँच बार यादृच्छया फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) कोई एक निश्चित अंक चार बार ऊपर आता है।
(ii) कोई एक निश्चित अंक कम-से-कम चार बार ऊपर आता है।
58. एक थैले में 4 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। यदि ये एक-एक करके बिना दोबारा डाले निकाली जाएँ, तो पहली गेंद के सफेद, दूसरी के काली, तीसरी के सफेद, चौथी के काली, पाँचवीं के सफेद, छठवीं के काली और सातवीं के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।